Introduction
 
This package is a Python library for calculating Tate bilinear pairing, 
especially on super-singular elliptic curve $E:y^2=x^3-x+1$ in affine 
coordinates defined over a Galois Field $GF(3^m)$.
 
This package is also for calculating the addition of two elements 
in the elliptic curve group, and the addition of $k$ identical element 
in the elliptic curve group.
 
The code of this package for computing the Tate bilinear pairing follows 
the paper by Beuchat et al [3]. The code of this package for computing 
the elliptic curve group operation follows the paper by Kerins et al [2].
 
This package is in PURE Python, working with Python 2.7 and 3.2.
 
This package computes one Tate bilinear pairing within 3.26 seconds 
@ Intel Core2 L7500 CPU (1.60GHz).
 
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What is Tate bilinear pairing
 
Generally speaking, The Tate bilinear pairing algorithm is a transformation 
that takes two points on an elliptic curve and outputs a nonzero element 
in the extension field $GF(3^{6m})$. The state-of-the-art way of computing 
the Tate bilinear pairing is eta pairing, introduced by Barreto et al [4]. 
For more information, please refer to [1,2,3,4].
 
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Usage 1: calculating Tate bilinear pairing
 
Given two random numbers like this:
 
>>> import random
>>> a = random.randint(0,1000)
>>> b = random.randint(0,1000)
 
Computing two elements $[inf1, x1, y1]$, and $[inf2, x2, y2]$ in 
the elliptic curve group:
 
>>> from tate_bilinear_pairing import ecc
>>> g = ecc.gen()
>>> inf1, x1, y1 = ecc.scalar_mult(a, g)
>>> inf2, x2, y2 = ecc.scalar_mult(b, g)
 
Tate bilinear pairing is done via:
 
>>> from tate_bilinear_pairing import eta
>>> t = eta.pairing(x1, y1, x2, y2)
 
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Usage 2: calculating the addition of two elements in the elliptic curve group
 
Given two elements $p1=[inf1, x1, y1]$, and $p2=[inf2, x2, y2]$ in the 
elliptic curve group, the addition is done via:
 
>>> p1 = [inf1, x1, y1]
>>> p2 = [inf2, x2, y2]
>>> p3 = ecc.add(p1, p2)
 
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Usage 3: calculating the addition of $k$ identical elements
 
Given a non-negative integer $k$ and an group element $p1=[inf1, x1, y1]$, 
$k \cdot p1$ is computed via:
 
>>> k = random.randint(0,1000)
>>> p3 = ecc.scalar_mult(k, p1)
 
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References
 
[1] I. Duursma, H.S. Lee. 
      "Tate pairing implementation for hyper-elliptic curves $y^2=x^p-x+d$".
[2] T. Kerins, W.P. Marnane, E.M. Popovici, and P.S.L.M. Barreto.
      "Efficient hardware for the Tate pairing calculation in characteristic 
       three".
[3] J. Beuchat, N. Brisebarre, J. Detrey, E. Okamoto, M. Shirase, and T. Takagi. 
      "Algorithms and Arithmetic Operators for Computing the $\eta_T$ Pairing 
       in Characteristic Three".
[4] P.S.L.M. Barreto, S.D. Galbraith, C. O hEigeartaigh, and M. Scott,
      "Efficient Pairing Computation on Supersingular Abelian Varieties".

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